Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Genaro Luna Carreto
Resumen
- Recuerde que la proyección del vector $A$ sobre el vector $B$ en $\mathbb{R}^{n}$, es precisamente la "sombra" de $A$ sobre $B$, que en términos formales
es $cB$, donde $\displaystyle c=\frac{A\cdot B}{B\cdot B}$. Una consecuencia de ello, es que $A-cB$ y $B$ son perpendiculares, veamos:
\begin{align*}
(A-cB)\cdot B &= A\cdot B-(c B\cdot B) \\
&= A\cdot B-\bigg( \frac{A\cdot B}{B\cdot B} B\cdot B \bigg)\\
&= A\cdot B -A\cdot B\\
&=0.
\end{align*}
Ahora observe que $(A-cB)\cdot (cB)= c[ ( A-cB) \cdot B ]=0$. Esto es , $A-cB$ y $cB$ también son perpendiculares.
Es útil considerar la siguiente figura, donde se ilustran los elementos descritos anteriormente
- Teorema generalizado de Pitágoras : Si $A$ y $B$ son perpendiculares, entonces \begin{equation} ||A+B||^2 = ||A||^2 + ||B||^2 \end{equation}
Teorema (desigualdad de Cauchy-Schwarz): Si $A,B \in \mathbb{R}^n$ entonces
\begin{equation}
|A\cdot B| \leq ||A| ||B||
\end{equation}
Prueba:
Si $cB$ la proyección de $A$ sobre $B$ entonces
\begin{equation}\label{schwarz1}
||A||^2= ||A-cB + cB||^2 = ||A-cB||^2 + ||cB||^2
\end{equation}
pues es posible aplicar el teorema generalizado de Pitágoras a $A-cB$ y $cB$, debido a que son perpendiculares (vea resumen introductorio).
Si observa con cuidado la ecuación \eqref{schwarz1}, notará que la norma cuadrada de $A$, es igual a la suma de dos números positivos: $||A-cB||^2 $ y $||cB||^2$. De manera que si quitamos uno de los sumandos, por ejemplo $||A-cB||^2 $ la igualdad se pierde, inclinándose la balanza hacía el miembro izquierdo, que sería más grande que sólo uno de los sumandos, es decir: \begin{equation} ||A||^2 \geq ||cB||^2 \end{equation} En forma equivalente: $||cB||^2 \leq ||A||^2$. Ahora, realicemos una serie de manipulaciones, usando la definición de $c$. \begin{align} ||cB||^2 & \leq ||A||^2 \\ c^2 ||B||^2 & \leq ||A||^2\\ \bigg( \frac{A\cdot B}{B\cdot B} \bigg)^2 ||B||^2 &\leq ||A||^2\\ \frac{ (A\cdot B)^2 }{(B\cdot B)^2} ||B||^2 &\leq ||A||^2\\ \frac{ (A\cdot B)^2 }{||B||^4} ||B||^2 &\leq ||A||^2\\ \frac{ (A\cdot B)^2 }{||B||^2} &\leq ||A||^2\\ (A\cdot B)^2 &\leq ||A||^2 ||B||^2 \label{schwarz2}\\ \end{align} Si obtenemos la raíz de la ecuación \eqref{schwarz2}, $$\sqrt{(A\cdot B)^2 } \leq \sqrt{ ||A||^2 ||B||^2 }$$ el miembro izquierdo $\sqrt{(A\cdot B)^2 } = |A\cdot B| $, por un teorema básico ($\sqrt{x^2}=|x|$). El miembro derecho $\sqrt{ ||A||^2 ||B||^2 }= ||A||||B||$.
Finalmente, logramos obtener la desigualdad de Cauchy-Schwarz $$|A\cdot B| \leq ||A|||B||$$
Si observa con cuidado la ecuación \eqref{schwarz1}, notará que la norma cuadrada de $A$, es igual a la suma de dos números positivos: $||A-cB||^2 $ y $||cB||^2$. De manera que si quitamos uno de los sumandos, por ejemplo $||A-cB||^2 $ la igualdad se pierde, inclinándose la balanza hacía el miembro izquierdo, que sería más grande que sólo uno de los sumandos, es decir: \begin{equation} ||A||^2 \geq ||cB||^2 \end{equation} En forma equivalente: $||cB||^2 \leq ||A||^2$. Ahora, realicemos una serie de manipulaciones, usando la definición de $c$. \begin{align} ||cB||^2 & \leq ||A||^2 \\ c^2 ||B||^2 & \leq ||A||^2\\ \bigg( \frac{A\cdot B}{B\cdot B} \bigg)^2 ||B||^2 &\leq ||A||^2\\ \frac{ (A\cdot B)^2 }{(B\cdot B)^2} ||B||^2 &\leq ||A||^2\\ \frac{ (A\cdot B)^2 }{||B||^4} ||B||^2 &\leq ||A||^2\\ \frac{ (A\cdot B)^2 }{||B||^2} &\leq ||A||^2\\ (A\cdot B)^2 &\leq ||A||^2 ||B||^2 \label{schwarz2}\\ \end{align} Si obtenemos la raíz de la ecuación \eqref{schwarz2}, $$\sqrt{(A\cdot B)^2 } \leq \sqrt{ ||A||^2 ||B||^2 }$$ el miembro izquierdo $\sqrt{(A\cdot B)^2 } = |A\cdot B| $, por un teorema básico ($\sqrt{x^2}=|x|$). El miembro derecho $\sqrt{ ||A||^2 ||B||^2 }= ||A||||B||$.
Finalmente, logramos obtener la desigualdad de Cauchy-Schwarz $$|A\cdot B| \leq ||A|||B||$$
20 de Mayo de 2016